POTI - Modulos

Módulos de Ensino

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Nível 1

Paridade

Este módulo aborda um dos temas elementares mais populares em problemas de olimpíadas: classificações de quantidades como um número par ou um número ímpar. A ferramenta estudada servirá, por exemplo, para a obtenção de invariantes em problemas de combinatória e análise de soluções em problemas de aritmética.

Operações Aritméticas e Divisibilidade

Neste módulo abordamos as operações aritméticas fundamentais e conceitos elementares de divisibilidade, como múltiplos, divisores e números primos.

Problemas de Álgebra

Neste módulo abordamos problemas que podem ser resolvidos com o auxílio de variáveis. Embora a utilização de variáveis não seja crucial inicialmente, é importante nos acostumarmos com o seu uso, que é essencial em problemas mais complexos.

Sistema Decimal

Neste módulo exploramos problemas que envolvem os dígitos de um número em sua representação decimal.

Sequências

Nesse módulo abordamos problemas que geram sequências onde podemos observar e justificar certos padrões.

Áreas

Neste módulo, partindo do conhecimento de áreas de retângulos deduzimos fórmulas para áreas de paralelogramos e triângulos e discutimos diversos problemas.

Perímetros

O perímetro de uma figura plana é o comprimento do seu contorno. Nessa aula resolvemos diversos problemas sobre perímetros e também problemas que relacionam perímetros e áreas.

Nível 2

A Divisão Euclidiana

Neste módulo, estudaremos a relação de divisibilidade envolvendo números inteiros. Além da relação de divisibilidade, também abordaremos alguns resultados elementares de álgebra que serão úteis ao longo dos módulos de Aritmética.

Aritmética Modular

Neste módulo estudaremos importantes ferramentas para o estudo da aritmética dos números inteiros e que foram desenvolvidas por Gauss, Euler e Fermat dentre outros.

O Teorema Chinês dos Restos

Neste módulo aprederemos o famoso Teorema Chinês dos Restos que serve para resolver um sistema de congruências lineares.

Equações Diofantinas

Neste módulos estudaremos equações diofantinas clássicas e os métodos mais elementares para resolvê-las.

Resíduos Quadráticos

Neste módulo veremos ferramentas para decidir quando uma certa congruência quadrática possui solução em inteiros.

A Função Parte Inteira

Este é um módulo de resolução de exercícios. Aqui resolvemos exercícios que trabalham de maneira conjunta todos os conceitos vistos nos módulos do sexto ano.

Conceitos iniciais de geometria olímpica

Neste módulo, veremos ferramentas iniciais de geometria.

Teoria inicial de triângulos

Neste módulo, veremos congruência, semelhança e algumas propriedades de triângulos.

Circunferências

Neste módulo, veremos alguns conhecimentos básicos sobre circunferências.

Teoria intermediária de triângulos

Neste módulo, veremos relações métricas (ou trigonométricas) no triângulos, formas de calcular e relacionar áreas e teoremas de Ceva e Menelaus.

Quadriláteros e Ângulos na Circunferência

Neste módulo, veremos os conhecimentos iniciais sobre quadriláteros e ângulos na circunferência.

Pontos notáveis de um triângulo

Neste módulo, veremos os quatro principais pontos notáveis de um triângulo e suas propriedades

Contagens Elementares

Neste módulo estudaremos os métodos mais elementares para contagem de elementos em um dado conjunto.

Produtos Notáveis

Neste módulo estudaremos produtos notáveis elementares e veremos algumas aplicações deles em diversos exercícios.

Equações e Sistemas de Equações

Neste módulo estudaremos problemas elementares envolvendo Equações e Sistemas de Equações.

Sequências

Neste módulo abordaremos problemas elementares envolvendo sequências de números reais.

Recorrências

Neste módulo estudaremos as duas sequências definidas recursivamente mais elementares: as Progressões Geométricas e as Progressões Aritméticas.

Desigualdades

Serão apresentadas as desigualdades elementares entre números reais e algumas de suas aplicações.

Indução

Neste módulo aprenderemos uma das principais propriedades do Conjunto dos Números Naturais: O Princípio da Indução Finita. Serão feitas aplicações em Combinatória, Álgebra e Teoria dos Números.

Funções

Neste módulo aprenderemos conceitos básicos de funções. As funções tratadas aqui tipicamente envolverão relações entre os números reais ou números inteiros.

Revisão

Neste módulo estudaremos diversos problemas com o intuito de revisar conteúdos de módulos mais elementares.

Continuidade

Neste módulo abordaremos problemas que envolvem algum tipo de noção de continuidade de funções reais. Dentre essas noções, a mais importante estará associada ao gráfico de funções polinomiais.

Números Complexos

Neste módulo, trataremos do conjunto dos números complexos, que estende de forma natural os conjuntos numéricos clássicos e, além disso, é algebricamente fechado.

Grafos

Neste módulo, definiremos o que são Grafos e como eles podem ser usados para a resolução de problemas de combinatória.

Jogos

Neste módulo estudaremos jogos que não dependem de sorte e que admitem estratégia vencedora para um dos dois jogadores.

Relações de Girard

Neste módulo estudaremos as relações algébricas entre os coeficientes de um polinômio e suas raízes.

Problemas com paridade

Neste módulo iremos estudar diversos problemas que envolvem o uso da paridade como invariante.

Invariantes

O objetivo deste módulo é exemplificar o uso de invariantes para decidir se uma dada configuração pode ser obtida de outra a partir da sucessão de operação de operações.

Razões de Segmentos

Neste módulo serão estudadas propriedades elementares envolvendo razões de segmentos. Veremos divisão harmônica, teoremas de Tales, da Bissetriz Interna e da Bissetriz Externa.

O Princípio da Casa dos Pombos

Neste módulo será apresentado uma das ferramentas mais elementares de contagem: o Princípio da Casa dos Pombos. O princípio pode ser formulado assim:Se em n caixas forem colocados n+1 pombos, então pelo menos uma caixa terá mais de um pombo.

Nível 3

Divisibilidade

Neste módulo, estudaremos as propriedades mais elementares decorrentes dos axiomas dos números naturias e da Divisão Euclidiana.

Desigualdades

Neste módulo apresentaremos algumas das desigualdades básicas recorrentes em olimpíadas de matemática. Veremos suas demonstrações e aplicações na resolução de problemas.

Congruências

Congruências, Teoremas de Fermat, Wilson, Wolstenholme e Euler, Teorema Chinês do resto, Congruências Quadráticas e de Grau Superior

Equações Diofantinas Quadráticas

Começamos estudando trios pitagóricos e em seguida discutimos o problema geral de encontrar soluções inteiras para uma equação do tipo [tex]ax^2+by^2+cz^2=0[/tex].

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